Jika matriks (^4 log⁡ 2^x 1 ^2 log⁡ 4^y x) tidak mempunyai invers dan x^2+y^2=32 maka nilai ^x log⁡ y=⋯

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Matriks   ›  

Jika matriks \( \begin{pmatrix} {}^4 \! \log 2^x & 1 \\ {}^2 \! \log 4^y & x \end{pmatrix} \) tidak mempunyai invers dan \( x^2 + y^2 = 32 \) maka nilai \( {}^x \! \log y = \cdots \)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

(UM UGM 2018 MATDAS)

Pembahasan:

Ingat bahwa matriks yang tidak mempunyai invers berarti determinannya sama dengan nol, sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} \begin{vmatrix} {}^4 \! \log 2^x & 1 \\[8pt] {}^2 \! \log 4^y & x \end{vmatrix} &= 0 \\[8pt] ({}^4 \! \log 2^x) \cdot x - 1 \cdot {}^2 \! \log 4^y &= 0 \\[8pt] ({}^{2^2} \! \log 2^x) \cdot x - {}^2 \! \log (2^2)^y &= 0 \\[8pt] \left( \frac{x}{2} \cdot {}^2 \! \log 2 \right) \cdot x - 2y \cdot {}^2 \! \log 2 &= 0 \\[8pt] \frac{x^2}{2} - 2y &= 0 \\[8pt] \frac{x^2}{2} = 2y \Leftrightarrow x^2 &= 4y \end{aligned}

Dari soal diketahui \( x^2 + y^2 = 32 \) dan karena \( x^2 = 4y \) maka

\begin{aligned} x^2 + y^2 = 32 \Leftrightarrow 4y + y^2 &= 32 \\[8pt] y^2 + 4y - 32 &= 0 \\[8pt] (y+8)(y-4) &= 0 \\[8pt] y = -8 \ \text{atau} \ y &= 4 \end{aligned}

Karena yang ditanya adalah \( {}^x \! \log y \), maka berdasarkan syarat logaritma, \( y \) harus \( \leq 0 \). Ini berarti \( y = -8 \) tidak memenuhi syarat dan \( y \) yang memenuhi adalah 4 sehingga:

\begin{aligned} x^2 = 4y \Leftrightarrow x^2 &= 4 \cdot 4 \\[8pt] x^2 &= 16 \\[8pt] x &= \pm 4 \end{aligned}

Ingat bahwa dari syarat basis logaritma, \(a > 0 \) dan \(a \neq 1 \) yang berarti \( x = -4 \) tidak memenuhi syarat sehingga \( x = 4 \) dan \( {}^x \! \log y = {}^4 \! \log 4 = 1 \).

Jawaban A.